Vrai ou faux, avec justification

$\forall x\in \mathbb{R},x^2>0$ : faux. Un contre-exemple suffit pour infirmer un énoncé universel : $x=0$ donne $x^2=0$, qui n'est pas strictement positif. (L'énoncé $\forall x,x^2\ge 0$, lui, est vrai.)

$\exists x\in \mathbb{R},x^2=-1$ : faux. Un carré de réel est toujours positif ou nul, donc jamais égal à $-1$. Pour nier un énoncé existentiel, il faut une démonstration valable pour tous les $x$ : ici, $x^2\ge 0>-1$.

$\forall n\in \mathbb{N},\exists m\in \mathbb{N},m>n$ : vrai. Soit $n\in \mathbb{N}$ ; le choix $m=n+1$ convient, et $n+1$ est bien un entier naturel. Le témoin $m$ dépend de $n$, ce que la place du $\exists$ autorise.

$\exists m\in \mathbb{N},\forall n\in \mathbb{N},m>n$ : faux. Il faudrait un entier $m$ strictement supérieur à tous les entiers, donc en particulier à lui-même : $m>m$, absurde.

Les deux derniers énoncés emploient les mêmes symboles dans un ordre différent et n'ont pas la même valeur de vérité : l'ordre des quantificateurs n'est pas une question de style.