Attendre une boule blanche

Les tirages étant avec remise, ils sont indépendants et de même probabilité de succès $p=\frac{3}{10}=0,3$. Le rang $X$ du premier succès suit donc une loi géométrique de paramètre $p$ :

$$P(X=k)=0,7^{k-1}\times 0,3,k\ge 1.$$

Espérance : $E(X)=\frac{1}{p}=\frac{10}{3}\approx 3,33$ tirages.

Plus de $5$ tirages signifie que les cinq premiers ont tous échoué :

$$P(X>5)=0,7^5=0,16807\approx 17\%.$$

Le point à ne pas manquer : « avec remise » est ce qui rend le modèle géométrique légitime. Sans remise, la composition de l'urne changerait à chaque tirage, les probabilités ne seraient plus constantes, et il faudrait au plus $8$ tirages — le support même de la loi serait fini.