Attendre une boule blanche

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 10 — Probabilités — variables aléatoires réelles · Lois usuelles infinies

Énoncé

On tire des boules avec remise dans une urne contenant $3$ blanches et $7$ noires, jusqu'à obtenir une blanche. Quelle est la loi du nombre de tirages ? Son espérance ? Quelle est la probabilité qu'il faille plus de $5$ tirages ?

Corrigé

Les tirages étant avec remise, ils sont indépendants et de même probabilité de succès $p = \frac{3}{10} = 0, 3$ . Le rang $X$ du premier succès suit donc une loi géométrique de paramètre $p$ :

$P (X = k) = 0, 7^{k - 1} \times 0, 3, k \geq 1.$

Espérance : $E (X) = \frac{1}{p} = \frac{10}{3} \approx 3, 33$ tirages.

Plus de $5$ tirages signifie que les cinq premiers ont tous échoué :

$P (X > 5) = 0, 7^{5} = 0, 16807 \approx 17 %.$

Le point à ne pas manquer : « avec remise » est ce qui rend le modèle géométrique légitime. Sans remise, la composition de l'urne changerait à chaque tirage, les probabilités ne seraient plus constantes, et il faudrait au plus $8$ tirages — le support même de la loi serait fini.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.