$E(X)=np$ sans aucune somme

La décomposition. Une variable binomiale compte les succès de $n$ épreuves de Bernoulli indépendantes. Posons, pour $i\in [[1,n]]$,

$$X_i=\{\begin{array}{ll}1& \text{si la }i\text{-ieˋme eˊpreuve est un succeˋs},\\ 0& \text{sinon.}\end{array}$$

Chaque $X_i$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$, et par construction $X=X_1+X_2+\cdots +X_n$.

L'espérance d'un $X_i$ : $E(X_i)=1\times p+0\times (1-p)=p$.

La linéarité donne alors immédiatement

$$E(X)=\sum _{i=1}^{n}E(X_i)=np.$$

Comparons. Le calcul direct exigerait d'évaluer ${\sum }_{k=0}^{n}k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$, donc de simplifier $k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1}\right)$ puis de reconnaître un binôme de Newton. Ici, trois lignes.

Et l'hypothèse d'indépendance ? Elle n'a servi à rien : la linéarité de l'espérance vaut sans elle. C'est ce qui rend cette technique si puissante. Pour la variance, en revanche, l'indépendance est indispensable : c'est elle qui donne $V(X)=\sum V(X_i)=np(1-p)$.