Espérance et variance d'une loi finie

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 10 — Probabilités — variables aléatoires réelles · Espérance, variance, transfert

Énoncé

$X$ prend les valeurs $- 2, 0, 3$ avec probabilités $\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}$ . Calculer $E (X)$ , $E (X^{2})$ et $V (X)$ .

Corrigé

Espérance : $E (X) = \frac{1}{3} (- 2) + \frac{1}{3} (0) + \frac{1}{3} (3) = \frac{1}{3}$ .

Moment d'ordre deux, par transfert (on applique $x \mapsto x^{2}$ aux valeurs, sans chercher la loi de $X^{2}$ ) :

$E (X^{2}) = \frac{1}{3} (4) + \frac{1}{3} (0) + \frac{1}{3} (9) = \frac{13}{3} .$

Variance, par Koenig-Huygens :

$V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2} = \frac{13}{3} - \frac{1}{9} = \frac{39 - 1}{9} = \frac{38}{9} \approx 4, 22,$

d'où $σ (X) = 38 /3 \approx 2, 05$ .

On remarquera que $E (X^{2}) \neq = E (X)^{2}$ : $\frac{13}{3} \approx 4, 33$ contre $\frac{1}{9} \approx 0, 11$ . L'écart entre les deux est la variance — c'est tout le contenu de la formule de Koenig.

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