Espérance et variance d'une loi finie

Espérance : $E(X)=\frac{1}{3}(-2)+\frac{1}{3}(0)+\frac{1}{3}(3)=\frac{1}{3}$.

Moment d'ordre deux, par transfert (on applique $x\mapsto x^2$ aux valeurs, sans chercher la loi de $X^2$) :

$$E(X^2)=\frac{1}{3}(4)+\frac{1}{3}(0)+\frac{1}{3}(9)=\frac{13}{3}.$$

Variance, par Koenig-Huygens :

$$V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2=\frac{13}{3}-\frac{1}{9}=\frac{39-1}{9}=\frac{38}{9}\approx 4,22,$$

d'où $\sigma (X)=\sqrt{38}/3\approx 2,05$.

On remarquera que $E(X^2)\ne E(X{)}^2$ : $\frac{13}{3}\approx 4,33$ contre $\frac{1}{9}\approx 0,11$. L'écart entre les deux est la variance — c'est tout le contenu de la formule de Koenig.