L'absence de mémoire

La queue. $[X>n]$ signifie que les $n$ premières épreuves ont toutes échoué. Ces épreuves étant indépendantes et de probabilité d'échec $1-p$ :

$$P(X>n)=(1-p{)}^n.$$

(On peut aussi sommer la série : ${\sum }_{k>n}p(1-p{)}^{k-1}=p(1-p{)}^n{\sum }_{j\ge 0}(1-p{)}^j=(1-p{)}^n$.)

L'absence de mémoire. Comme $[X>n+k]\subset [X>n]$, l'intersection est $[X>n+k]$ et

$$P_{[X>n]}(X>n+k)=\frac{P(X>n+k)}{P(X>n)}=\frac{(1-p{)}^{n+k}}{(1-p{)}^n}=(1-p{)}^k=P(X>k).$$

Ce que cela dit. Sachant qu'on a déjà échoué $n$ fois, la loi du nombre d'essais restants est celle du départ : le passé ne compte pas. C'est contraire à l'intuition du joueur qui croit qu'« un six va finir par sortir » — le dé, lui, n'a aucun souvenir. La loi géométrique est la seule loi discrète à posséder cette propriété.