L'uniforme qui ne part pas de 1

Le recalage. Posons $n=b-a+1$, qui est le nombre de valeurs possibles, et $U=X-a+1$. L'application $k\mapsto k-a+1$ est une bijection de $[[a,b]]$ sur $[[1,n]]$, donc $U$ prend les valeurs $1,\dots ,n$, chacune avec la probabilité $\frac{1}{n}$ : $U\hookrightarrow \mathcal{U}([[1,n]])$.

Les moments de $U$ sont ceux du cours :

$$E(U)=\frac{n+1}{2},V(U)=\frac{n^2-1}{12}.$$

Retour à $X$. On a $X=U+(a-1)$, une fonction affine de $U$ de coefficient directeur $1$. Donc

$$E(X)=\frac{n+1}{2}+a-1=\frac{b-a+2}{2}+a-1=\frac{a+b}{2},$$

et, la translation ne changeant pas la dispersion,

$$V(X)=V(U)=\frac{(b-a+1{)}^2-1}{12}.$$

Contrôle sur un dé. Pour $a=1$ et $b=6$ : $E(X)=\frac{7}{2}=3,5$ et $V(X)=\frac{36-1}{12}=\frac{35}{12}$, les valeurs connues.

Le point à retenir. L'espérance est le milieu de l'intervalle — elle ne dépend que des extrémités. La variance, elle, ne dépend que de la largeur $b-a$ : les lois uniformes sur $[[1,6]]$ et $[[101,106]]$ ont la même dispersion.