La binomiale et la formule du binôme

La somme des probabilités. Par définition, $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$ pour $k\in [[0,n]]$. La formule du binôme de Newton s'écrit

$$(x+y{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k{y}^{n-k}.$$

Appliquons-la à $x=p$ et $y=1-p$ :

$$\sum _{k=0}^{n}P(X=k)=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}=(p+(1-p){)}^n=1^n=1.$$

La famille des $P(X=k)$ définit donc bien une loi de probabilité — ce n'est pas une évidence, c'est le binôme qui le garantit.

Le sens inverse. Soient $a,b>0$ et posons

$$p=\frac{a}{a+b}\in ]0,1[,1-p=\frac{(a+b)-a}{a+b}=\frac{b}{a+b}.$$

Soit $X\hookrightarrow \mathcal{B}(n,p)$. En écrivant la relation précédente et en multipliant par $(a+b{)}^n$ :

$$(a+b{)}^n=(a+b{)}^n\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right){\left(\frac{a}{a+b}\right)}^k{\left(\frac{b}{a+b}\right)}^{n-k}.$$

Comme $(a+b{)}^n=(a+b{)}^k(a+b{)}^{n-k}$, chaque terme se simplifie et l'on retrouve

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^k{b}^{n-k}.$$

L'interprétation. La formule du binôme est donc la traduction algébrique de « les probabilités d'une loi binomiale somment à $1$ ». C'est une lecture probabiliste d'une identité algébrique — et un moyen de la retenir.

Vérification sur un cas. Pour $n=2$, $a=1$, $b=3$ : $p=\frac{1}{4}$, et ${\left(\frac{3}{4}\right)}^2+2\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{3}{4}+{\left(\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{9+6+1}{16}=1$, tandis que $(1+3{)}^2=16=3^2+2\cdot 1\cdot 3+1^2$. ✔