La loi de la valeur absolue

La loi de $X$. Uniforme sur quatre valeurs : $P(X=x)=\frac{1}{4}$ pour $x\in \{-1,0,1,2\}$.

La loi de $Y$. Les valeurs prises sont $|-1|=1$, $|0|=0$, $|1|=1$, $|2|=2$, donc $Y(\Omega )=\{0,1,2\}$. On regroupe les antécédents :

$$P(Y=0)=P(X=0)=\frac{1}{4},$$ $$P(Y=1)=P([X=-1]\cup [X=1])=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2},$$ $$P(Y=2)=P(X=2)=\frac{1}{4}.$$

Les deux événements $[X=-1]$ et $[X=1]$ sont incompatibles, ce qui autorise l'addition. Contrôle : $\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=1$. ✔

Espérance par la loi de $Y$.

$$E(Y)=0\times \frac{1}{4}+1\times \frac{1}{2}+2\times \frac{1}{4}=0+0,5+0,5=1.$$

Espérance par transfert. Le théorème permet de sommer sur les valeurs de $X$, sans déterminer la loi de $Y$ :

$$E(|X|)=\sum _x|x|P(X=x)=\frac{|-1|+|0|+|1|+|2|}{4}=\frac{1+0+1+2}{4}=1.$$

Les deux résultats coïncident. C'est tout l'intérêt du transfert : sur une loi à quatre valeurs le gain est modeste, mais dès que la loi est infinie — ou que $g$ regroupe beaucoup de valeurs — déterminer la loi de $g(X)$ devient long, alors que le transfert reste immédiat.

À noter. $E(|X|)=1$ alors que $E(X)=\frac{-1+0+1+2}{4}=\frac{1}{2}$ : en général $E(g(X))\ne g(E(X))$, ici $\left|\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}\ne 1$.