La somme de deux dés

Probabilités — variables aléatoires réelles · Lois usuelles finies · niveau 1 (application)

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On lance deux dés. Soit $S$ la somme obtenue. Donner la loi de $S$ , puis $E (S)$ sans passer par la loi.

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La loi. $S$ prend ses valeurs dans $[[2, 12]]$ , et sur les $36$ issues équiprobables :

$k 36 P (S = k) 2132435465768594103112121$

On retient la formule $P (S = k) = \frac{6 - ∣ k - 7∣}{36}$ , maximale en $k = 7$ . La somme des numérateurs vaut bien $36$ .

L'espérance, sans la loi. Écrivons $S = D_{1} + D_{2}$ . Par linéarité de l'espérance — qui ne suppose aucune indépendance :

$E (S) = E (D_{1}) + E (D_{2}) = \frac{1 + 2 + \dots + 6}{6} \times 2 = \frac{7}{2} \times 2 = 7.$

Le contraste est l'essentiel de l'exercice : établir la loi de $S$ demande de dénombrer onze cas, l'espérance s'obtient en une ligne. Dès qu'une variable est une somme, la linéarité court-circuite la loi.

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