Le jour de la première panne

La loi. On répète chaque jour, de façon indépendante, la même épreuve de Bernoulli « il y a une panne », de probabilité $0,02$. $X$ est le rang d'apparition du premier succès : $X\hookrightarrow \mathcal{G}(0,02)$, avec

$$P(X=k)=0,02\times (0,98{)}^{k-1},k\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$

Espérance. Le cours donne $E(X)=\frac{1}{p}=\frac{1}{0,02}=50$ : la première panne survient en moyenne au bout de $50$ jours.

Probabilité de tenir plus de $30$ jours. L'événement $[X>30]$ signifie qu'aucune panne n'a eu lieu lors des $30$ premiers jours, donc que les $30$ épreuves ont été des échecs. Par indépendance,

$$P(X>30)=(0,98{)}^{30}={\mathrm{e}}^{30\ln (0,98)}={\mathrm{e}}^{-0,6061}\approx 0,5455.$$

Le seuil médian. $P(X\le n)=1-P(X>n)=1-(0,98{)}^n$, donc

$$P(X\le n)\ge 0,5⟺(0,98{)}^n\le 0,5.$$

En composant par $\ln$ puis en divisant par $\ln (0,98)<0$, ce qui renverse l'inégalité :

$$n\ge \frac{\ln (0,5)}{\ln (0,98)}=\frac{-0,6931}{-0,020203}\approx 34,31.$$

Le plus petit entier convenable est donc $n=35$.

Vérification. $(0,98{)}^{35}\approx 0,4933\le 0,5$ et $(0,98{)}^{34}\approx 0,5033>0,5$. ✔

Ce que l'écart entre $35$ et $50$ enseigne. La médiane ($35$ jours) est nettement inférieure à l'espérance ($50$ jours) : la loi géométrique est très asymétrique, une longue queue de valeurs rares mais grandes tirant la moyenne vers le haut. Confondre « en moyenne $50$ jours » et « une chance sur deux de tenir $50$ jours » est une erreur d'interprétation courante.