Le plus grand de deux numéros

L'univers. Un tirage simultané de deux boules parmi quatre donne $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$ résultats, tous équiprobables. Notons $a$ et $a^{\prime }$ les deux boules portant le $1$, $b$ celle portant le $2$ et $c$ celle portant le $3$.

Énumération. Les six paires et le maximum associé :

paire	$\{a,a^{\prime }\}$	$\{a,b\}$	$\{a^{\prime },b\}$	$\{a,c\}$	$\{a^{\prime },c\}$	$\{b,c\}$
max	$1$	$2$	$2$	$3$	$3$	$3$

La loi. $X(\Omega )=\{1,2,3\}$ et

$$P(X=1)=\frac{1}{6},P(X=2)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},P(X=3)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.$$

Contrôle : $\frac{1}{6}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=1$. ✔

Espérance.

$$E(X)=1\times \frac{1}{6}+2\times \frac{2}{6}+3\times \frac{3}{6}=\frac{1+4+9}{6}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}\approx 2,33.$$

Variance. Par le théorème de transfert appliqué à $g(x)=x^2$ :

$$E(X^2)=1\times \frac{1}{6}+4\times \frac{2}{6}+9\times \frac{3}{6}=\frac{1+8+27}{6}=\frac{36}{6}=6.$$

La formule de Kœnig-Huygens donne alors

$$V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2=6-{\left(\frac{7}{3}\right)}^2=6-\frac{49}{9}=\frac{54-49}{9}=\frac{5}{9}\approx 0,56.$$

Contrôle de vraisemblance. $E(X)=2,33$ tombe entre $1$ et $3$, plus près de $3$ que de $1$ — cohérent avec le fait que la valeur $3$ est la plus probable. Et $\sigma (X)=\sqrt{5/9}\approx 0,75$, ordre de grandeur normal pour une variable qui ne prend que trois valeurs voisines.

Le piège du doublon. Les deux boules numérotées $1$ sont distinctes : c'est ce qui donne $6$ paires équiprobables et non $3$. Confondre les boules de même numéro fausse tout le calcul des probabilités.