Les moments de la loi géométrique, par les séries dérivées

L'espérance. Par définition, $E(X)={\sum }_{k\ge 1}kP(X=k)$, sous réserve de convergence absolue — les termes étant ici positifs, la convergence absolue équivaut à la convergence. Or

$$\sum _{k\ge 1}kp{q}^{k-1}=p\sum _{k\ge 1}k{q}^{k-1}=p\cdot \frac{1}{(1-q{)}^2}=\frac{p}{p^2}=\frac{1}{p},$$

puisque $1-q=p$. La série converge car $|q|<1$ : l'espérance existe et vaut $\frac{1}{p}$.

Le moment factoriel. Appliquons le théorème de transfert à $g(x)=x(x-1)$. Le terme d'indice $k=1$ est nul, on part donc de $k=2$ :

$$E(X(X-1))=\sum _{k\ge 2}k(k-1)p{q}^{k-1}=pq\sum _{k\ge 2}k(k-1)q^{k-2},$$

où l'on a écrit $q^{k-1}=q\times q^{k-2}$. En utilisant la série donnée :

$$E(X(X-1))=pq\cdot \frac{2}{(1-q{)}^3}=pq\cdot \frac{2}{p^3}=\frac{2q}{p^2}.$$

Le moment d'ordre deux. Par linéarité de l'espérance, $E(X^2)=E(X(X-1))+E(X)$, donc

$$E(X^2)=\frac{2q}{p^2}+\frac{1}{p}.$$

La variance. Kœnig-Huygens donne

$$V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2=\frac{2q}{p^2}+\frac{1}{p}-\frac{1}{p^2}=\frac{2q+p-1}{p^2}.$$

Or $p-1=-q$, donc le numérateur vaut $2q-q=q$, et

$$V(X)=\frac{q}{p^2}=\frac{1-p}{p^2}.$$

Vérification. Pour $p=\frac{1}{2}$ : $E(X)=2$ et $V(X)=\frac{1/2}{1/4}=2$. Un jeu de pile ou face équilibré : on attend en moyenne deux lancers le premier pile, avec un écart-type $\sqrt{2}\approx 1,41$ — la dispersion est du même ordre que la moyenne, ce qui traduit bien la lourde queue de cette loi.

Pourquoi passer par $X(X-1)$. Calculer directement $\sum k^2{q}^{k-1}$ n'est pas au programme ; en revanche $\sum k(k-1)q^{k-2}$ est l'une des trois séries de référence. Écrire $X^2=X(X-1)+X$ ramène le calcul à ce qui est disponible.