Où la loi de Poisson est-elle maximale ?

Le quotient. Toutes les probabilités sont strictement positives, on peut donc diviser. Les facteurs ${\mathrm{e}}^{-\lambda }$ se simplifient, et $\frac{k!}{(k+1)!}=\frac{1}{k+1}$ :

$$\frac{P(X=k+1)}{P(X=k)}=\frac{{\lambda }^{k+1}}{(k+1)!}\times \frac{k!}{{\lambda }^k}=\frac{\lambda }{k+1}.$$

La lecture du quotient. Comparer ce rapport à $1$ revient à comparer $k+1$ à $\lambda$ :

$$\frac{\lambda }{k+1}>1⟺k<\lambda -1,\frac{\lambda }{k+1}=1⟺k=\lambda -1.$$

La suite $(P(X=k))$ croît tant que $k<\lambda -1$, puis décroît dès que $k>\lambda -1$. Elle a donc un maximum, et il se situe au voisinage de $\lambda$.

Deux cas. Si $\lambda$ n'est pas entier, le maximum est atteint pour l'unique entier $k$ tel que $\lambda -1<k<\lambda$, c'est-à-dire la partie entière de $\lambda$. Si $\lambda$ est entier, le quotient vaut exactement $1$ en $k=\lambda -1$ : les deux valeurs $\lambda -1$ et $\lambda$ sont également probables, et le maximum est atteint deux fois.

Contrôle pour $\lambda =4$ : le rapport vaut $\frac{4}{k+1}$, égal à $1$ en $k=3$. On a bien $P(X=3)=P(X=4)\approx 0,195$.

Le point à retenir. Une suite de probabilités s'étudie par le quotient de deux termes consécutifs, jamais par leur différence : les factorielles s'y simplifient. Et la valeur la plus probable n'est pas l'espérance — elle en est seulement voisine.