Poisson comme limite de binomiales

Mise en forme. Fixons $k\in \mathbb{N}$ et prenons $n>\max (\lambda ,k)$ :

$$P(X_n=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right){\left(\frac{\lambda }{n}\right)}^k{\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^{n-k}.$$

Écrivons $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k!}$ et regroupons les puissances de $n$ :

$$P(X_n=k)=\underset{A_n}{\underbrace{\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{n^k}}}\cdot \frac{{\lambda }^k}{k!}\cdot \underset{B_n}{\underbrace{{\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^n}}\cdot \underset{C_n}{\underbrace{{\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^{-k}}}.$$

Le facteur $A_n$. C'est un produit de $k$ facteurs :

$$A_n=1\times \left(1-\frac{1}{n}\right)\times \cdots \times \left(1-\frac{k-1}{n}\right)\underset{n\to +\infty }{\to }1,$$

$k$ étant fixé : le nombre de facteurs ne change pas avec $n$.

Le facteur $B_n$. Passons au logarithme :

$$\ln B_n=n\ln \left(1-\frac{\lambda }{n}\right)=-\lambda \cdot \frac{\ln \left(1+u\right)}{u}\text{avec }u=-\frac{\lambda }{n}.$$

Quand $n\to +\infty$, $u\to 0$, et la limite de référence du cours $\frac{\ln (1+u)}{u}\to 1$ donne $\ln B_n\to -\lambda$, donc $B_n\to {\mathrm{e}}^{-\lambda }$ par continuité de l'exponentielle.

Le facteur $C_n$. $1-\frac{\lambda }{n}\to 1$ et l'exposant $-k$ est fixe, donc $C_n\to 1$.

Conclusion. Par produit de limites,

$$P(X_n=k)\underset{n\to +\infty }{\to }1\cdot \frac{{\lambda }^k}{k!}\cdot {\mathrm{e}}^{-\lambda }\cdot 1={\mathrm{e}}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!},$$

qui est exactement $P(Y=k)$ pour $Y\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda )$.

Comparaison numérique ($n=200$, $p=0,01$, donc $\lambda =2$) :

$k$	$\mathcal{B}(200;0,01)$	$\mathcal{P}(2)$
$0$	$0,1340$	$0,1353$
$1$	$0,2707$	$0,2707$
$2$	$0,2720$	$0,2707$

Les écarts sont de l'ordre de $10^{-3}$ : l'approximation est excellente.

Le contexte d'emploi. C'est la « loi des événements rares » : beaucoup d'épreuves ($n$ grand), chacune de faible probabilité ($p$ petit), avec un nombre moyen $np=\lambda$ modéré. Pannes, appels téléphoniques, sinistres — autant de situations où l'on remplace une binomiale peu maniable par une loi de Poisson.