Recalibrer une note

L'ordre des deux équations n'est pas libre. L'écart-type ne dépend que de $a$, l'espérance des deux : on lit donc $a$ d'abord, puis $b$.

L'écart-type. $\sigma (aX+b)=|a|\sigma (X)$, et $a>0$ donne $|a|=a$ :

$$\sigma (Y)=3a=4⟹a=\frac{4}{3}.$$

Le paramètre $b$ a disparu : translater toutes les notes du même nombre ne change rien à leur dispersion.

L'espérance. $E(aX+b)=aE(X)+b$, d'où

$$\frac{4}{3}\times 10,5+b=12,14+b=12,b=-2.$$

La transformation cherchée est donc $Y=\frac{4}{3}X-2$.

Vérification. Une note de $10,5$ devient $14-2=12$ : la moyenne est bien envoyée sur la moyenne voulue. Et un écart de $3$ points autour de la moyenne devient un écart de $4$ points.

Le point à retenir. On peut refaire le calcul par la variable centrée réduite : $X^{\star }=\frac{X-10,5}{3}$ vérifie $E(X^{\star })=0$ et $\sigma (X^{\star })=1$, donc $Y=12+4X^{\star }$ convient, et le développement redonne $\frac{4}{3}X-2$. C'est à cela que sert $X^{\star }$ : toute variable d'espérance et d'écart-type imposés s'en déduit par une seule fonction affine.