Simuler n'importe quelle loi discrète finie

import numpy.random as rd

def simuler(valeurs, probas):
    u = rd.random()          # reel uniforme dans [0, 1[
    cumul = 0
    for i in range(len(valeurs)):
        cumul = cumul + probas[i]
        if u < cumul:
            return valeurs[i]
    return valeurs[-1]       # filet de securite, voir plus bas

X = [simuler([-2, 0, 3], [1/3, 1/3, 1/3]) for _ in range(100000)]
print(sum(X) / len(X))       # ~0.33

Pourquoi c'est correct. Les probabilités cumulées découpent $[0,1[$ en intervalles consécutifs, le $i$-ième ayant pour longueur $p_i$. La boucle renvoie valeurs[i] exactement lorsque $u$ tombe dans le $i$-ième intervalle, ce qui arrive avec la probabilité $p_i$ puisque $u$ est uniforme. La fonction simule donc bien la loi voulue.

Le filet de sécurité. En arithmétique flottante, $\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$ peut valoir $0,9999999999999999$. Si $u$ dépasse ce cumul final, la boucle se termine sans rien renvoyer et la fonction rend None — une fois sur des millions, et à un moment imprévisible. Le dernier return supprime ce cas.

Le contrôle. La moyenne empirique doit approcher $E(X)=\frac{-2+0+3}{3}=\frac{1}{3}\approx 0,333$, ce qu'on observe.

Le point à retenir. Cette méthode ne suppose rien de la loi — ni uniformité, ni forme particulière — seulement qu'on sache énumérer ses valeurs et leurs probabilités. Un seul tirage uniforme suffit à simuler n'importe laquelle.