Simuler une binomiale en une ligne

Le code.

import numpy.random as rd

N = 100000
X = rd.binomial(10, 0.3, N)      # N tirages d'une B(10 ; 0,3)
freq = sum(1 for x in X if x == 3) / N
print(freq)                      # ~0.267

La valeur exacte.

$$P(X=3)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)(0,3{)}^3(0,7{)}^7.$$

Détaillons : $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120$, $(0,3{)}^3=0,027$ et $(0,7{)}^7\approx 0,0823543$. Donc

$$P(X=3)\approx 120\times 0,027\times 0,0823543=3,24\times 0,0823543\approx 0,2668.$$

Comparaison. La fréquence simulée doit tomber autour de $0,267$. L'écart-type de cette fréquence vaut

$$\sqrt{\frac{p(1-p)}{N}}\text{avec }p=0,267,\text{soit}\sqrt{\frac{0,196}{10^5}}\approx 1,4\times 10^{-3}.$$

Un écart de deux ou trois millièmes est donc normal ; un écart de plusieurs centièmes signalerait une erreur — de paramètre passé à rd.binomial, ou de test sur la valeur.

Ce que rd.binomial(n, p, N) fait. Elle rend directement $N$ réalisations indépendantes d'une loi $\mathcal{B}(n,p)$, sans qu'on ait à programmer les $n$ épreuves de Bernoulli. C'est plus rapide, mais cela masque la définition de la loi : les deux approches se complètent.