Un contrôle de qualité

Modélisation. La production est très nombreuse : prélever $50$ pièces revient, à une excellente approximation, à répéter $50$ fois de façon indépendante la même épreuve de Bernoulli « la pièce est défectueuse », de probabilité de succès $p=0,03$. Donc

$$X\hookrightarrow \mathcal{B}(50;0,03),P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{k}\right)(0,03{)}^k(0,97{)}^{50-k}.$$

Espérance. $E(X)=np=50\times 0,03=1,5$ : en moyenne une pièce et demie défectueuse par prélèvement.

Aucune défectueuse.

$$P(X=0)=(0,97{)}^{50}={\mathrm{e}}^{50\ln (0,97)}={\mathrm{e}}^{-1,5230}\approx 0,2181.$$

Au moins une. On passe par l'événement contraire, seul calcul raisonnable :

$$P(X\ge 1)=1-P(X=0)\approx 1-0,2181=0,7819.$$

Près de $78\%$ des prélèvements contiennent au moins une pièce défectueuse.

Au plus deux. Il faut sommer trois termes :

$$P(X=1)=50\times 0,03\times (0,97{)}^{49}\approx 1,5\times 0,22483\approx 0,3372,$$

$$P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{50}{2}\right)(0,03{)}^2(0,97{)}^{48}=1225\times 0,0009\times 0,23178\approx 0,2555.$$

D'où

$$P(X\le 2)\approx 0,2181+0,3372+0,2555=0,8108.$$

Contrôle de cohérence. L'espérance $1,5$ est proche de la valeur $1$ la plus probable, et $81\%$ de la masse se trouve sous $2$ : la loi est nettement asymétrique, concentrée à gauche — ce qui est attendu pour une binomiale de petit $p$.