mathématiques appliquées (ECG 1re année) · Chapitre 10 · Exercice d'entraînement

Un contrôle de qualité

Probabilités — variables aléatoires réelles · Lois usuelles · niveau 2

Énoncé

Une chaîne produit des pièces dont $3 %$ sont défectueuses. On en prélève $50$ au hasard dans une production très nombreuse, et on note $X$ le nombre de pièces défectueuses. Donner la loi de $X$ , $E (X)$ , $P (X = 0)$ , $P (X \geq 1)$ et $P (X \leq 2)$ .

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Élève

Je pense que $X$ suit une loi binomiale, mais on prélève les $50$ pièces sans les remettre : les tirages ne sont donc pas indépendants, si ?

Ta remarque est juste : un prélèvement sans remise n'est pas, en toute rigueur, une suite d'épreuves indépendantes. Quelle précision de l'énoncé permet de faire comme si ? Que change le retrait d'une pièce à la proportion de défectueuses quand la production est énorme ?

Élève

Si la production est très nombreuse, retirer quelques pièces ne modifie presque pas la proportion de $3 %$ . On peut donc modéliser par des épreuves de Bernoulli indépendantes de même paramètre.

C'est la modélisation attendue. Une fois les paramètres de la loi écrits, comment comptes-tu obtenir $P (X \geq 1)$ sans additionner une cinquantaine de termes ? Et combien de termes faudra-t-il pour $P (X \leq 2)$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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