Un standard téléphonique

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 10 — Probabilités — variables aléatoires réelles · Lois usuelles infinies

Énoncé

Un standard reçoit en moyenne $4$ appels par heure, selon une loi de Poisson. Probabilité d'en recevoir exactement $2$ ? au moins $1$ ?

Corrigé

Le paramètre est $λ = 4$ , puisque pour une loi de Poisson $E (X) = λ$ .

Exactement deux :

$P (X = 2) = e^{- 4} \frac{4 ^{2}}{2 !} = 8 e^{- 4} \approx 0, 1465.$

Au moins un, par l'événement contraire :

$P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) = 1 - e^{- 4} \approx 0, 9817.$

Ce que le modèle suppose. Les appels doivent être rares relativement au nombre d'appelants possibles, et surtout indépendants. Cela tombe en défaut si une panne provoque une vague d'appels corrélés — et cela se détecte : pour une loi de Poisson, $V (X) = E (X) = λ$ , donc un rapport variance/moyenne nettement supérieur à $1$ sur des données réelles exclut le modèle.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.