Un transfert sur une loi infinie

La loi. $X(\Omega )={\mathbb{N}}^{\ast }$ et $P(X=k)=p{q}^{k-1}$ où $q=1-p$ appartient à $]0,1[$.

Existence. Posons $g(x)=2^{-x}$. Le théorème de transfert dit que $E(g(X))$ existe si et seulement si la série ${\sum }_{k\ge 1}g(k)P(X=k)$ converge absolument. Ici tous les termes sont positifs, et

$$g(k)P(X=k)=2^{-k}p{q}^{k-1}.$$

Réécrivons ce terme général en une seule puissance :

$$2^{-k}p{q}^{k-1}=\frac{p}{2}\cdot \frac{q^{k-1}}{2^{k-1}}=\frac{p}{2}{\left(\frac{q}{2}\right)}^{k-1}.$$

C'est le terme d'une série géométrique de raison $\frac{q}{2}$, avec $0<\frac{q}{2}<\frac{1}{2}<1$ : la série converge, donc l'espérance existe.

Calcul. En posant $m=k-1$ :

$$E\left(2^{-X}\right)=\frac{p}{2}\sum _{m\ge 0}{\left(\frac{q}{2}\right)}^m=\frac{p}{2}\cdot \frac{1}{1-\frac{q}{2}}=\frac{p}{2}\cdot \frac{2}{2-q}=\frac{p}{2-q}.$$

Comme $q=1-p$, on a $2-q=1+p$, d'où

$$E\left(2^{-X}\right)=\frac{p}{1+p}.$$

Contrôles aux extrémités. Quand $p\to 1$, la variable $X$ vaut presque sûrement $1$ et $2^{-X}$ vaut $\frac{1}{2}$ : la formule donne $\frac{1}{2}$. ✔ Quand $p\to 0$, le premier succès se fait attendre très longtemps, $2^{-X}$ est presque toujours minuscule, et la formule donne bien $\frac{p}{1+p}\to 0$. ✔

Ce que le transfert évite. On n'a jamais eu besoin de déterminer la loi de la variable $2^{-X}$, qui prend les valeurs $\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\dots$ — le théorème permet de sommer directement sur les valeurs de $X$.