Une épreuve de Bernoulli

La loi. Les multiples de $3$ dans $[[1,6]]$ sont $3$ et $6$, soit deux issues sur six. Le dé étant équilibré,

$$p=P(X=1)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3},P(X=0)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$$

$X$ ne prend que les valeurs $0$ et $1$ : elle suit la loi de Bernoulli de paramètre $\frac{1}{3}$, notée $X\hookrightarrow \mathcal{B}\left(\frac{1}{3}\right)$.

Espérance. Le cours donne $E(X)=p$, ce qu'on retrouve directement :

$$E(X)=0\times \frac{2}{3}+1\times \frac{1}{3}=\frac{1}{3}\approx 0,333.$$

Variance. Le cours donne $V(X)=p(1-p)$ :

$$V(X)=\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{2}{9}\approx 0,222.$$

On peut le vérifier par Kœnig-Huygens : comme $X$ ne prend que les valeurs $0$ et $1$, on a $X^2=X$, donc $E(X^2)=E(X)=\frac{1}{3}$ et

$$V(X)=\frac{1}{3}-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{3}-\frac{1}{9}=\frac{2}{9}.✓$$

Ce que $X$ est. Une variable de Bernoulli est l'indicatrice d'un événement : elle vaut $1$ quand il se réalise, $0$ sinon, et son espérance est exactement la probabilité de cet événement. C'est le lien qui rend la linéarité de l'espérance si commode pour compter.