Une espérance, mais pas de variance

C'est une loi. Les termes sont positifs, et

$$\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right)$$

(réduire au même dénominateur : le numérateur vaut $(k+2)-k=2$). La somme partielle télescope :

$$\sum _{k=1}^N\frac{4}{k(k+1)(k+2)}=2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{(N+1)(N+2)}\right)\underset{N\to +\infty }{\to }1.$$

L'espérance existe. $kP(X=k)=\frac{4}{(k+1)(k+2)}=4\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\right)$, et ces termes sont positifs, donc la convergence sera absolue. Nouveau télescopage :

$$\sum _{k=1}^{N}kP(X=k)=4\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{N+2}\right)\underset{N\to +\infty }{\to }2,\text{donc }E(X)=2.$$

La variance n'existe pas. Par transfert, $E(X^2)$ existe si et seulement si $\sum k^{2}P(X=k)$ converge. Or, pour $k\ge 1$, on a $k+1\le 2k$ et $k+2\le 3k$, donc

$$k^{2}P(X=k)=\frac{4k}{(k+1)(k+2)}\ge \frac{4k}{6k^2}=\frac{2}{3k}.$$

Les sommes partielles de cette série à termes positifs majorent donc $\frac{2}{3}{\sum }_{k=1}^N\frac{1}{k}$, qui n'est pas majorée puisque la série harmonique diverge. La série ne converge pas : $E(X^2)$ n'existe pas, donc $X$ n'a pas de variance.

Le point à retenir. Avoir une espérance et avoir une variance sont deux conditions distinctes, et la seconde est strictement plus exigeante. Ici la loi décroît juste assez vite pour que la moyenne existe, et pas assez pour que la dispersion en ait une.