Une image, de deux façons

La loi de $Y$. On calcule $(k-3{)}^2$ pour $k$ de $1$ à $6$ : $4,1,0,1,4,9$. Deux valeurs de $X$ donnent $1$, deux donnent $4$ :

$$\begin{array}{ccccc}y& 0& 1& 4& 9\\ P(Y=y)& \frac{1}{6}& \frac{2}{6}& \frac{2}{6}& \frac{1}{6}\end{array}$$

La somme fait bien $1$. On notera que $Y$ n'est pas uniforme, alors que $X$ l'était : l'application $k\mapsto (k-3{)}^2$ n'est pas injective, et elle « replie » les valeurs.

Première méthode, par la loi de $Y$ :

$$E(Y)=0\times \frac{1}{6}+1\times \frac{2}{6}+4\times \frac{2}{6}+9\times \frac{1}{6}=\frac{0+2+8+9}{6}=\frac{19}{6}.$$

Seconde méthode, par transfert — sans jamais établir la loi de $Y$ :

$$E((X-3{)}^2)=\sum _{k=1}^6(k-3{)}^{2}P(X=k)=\frac{4+1+0+1+4+9}{6}=\frac{19}{6}\approx 3,17.$$

Les deux concordent, et la seconde est nettement plus courte. C'est précisément ce que le théorème de transfert autorise : appliquer la fonction aux valeurs, en gardant les probabilités de $X$.