Une loi donnée par un tableau

C'est bien une loi. Les quatre nombres sont positifs et

$$0,1+0,4+0,3+0,2=1.✓$$

Espérance.

$$E(X)=0\times 0,1+1\times 0,4+2\times 0,3+3\times 0,2=0+0,4+0,6+0,6=1,6.$$

Moment d'ordre deux. Par le théorème de transfert appliqué à $g(x)=x^2$, on somme les $x^2$ pondérés par les mêmes probabilités — sans avoir à déterminer la loi de $X^2$ :

$$E(X^2)=0\times 0,1+1\times 0,4+4\times 0,3+9\times 0,2=0+0,4+1,2+1,8=3,4.$$

Variance. Par la formule de Kœnig-Huygens,

$$V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2=3,4-(1,6{)}^2=3,4-2,56=0,84.$$

Écart-type. $\sigma (X)=\sqrt{0,84}\approx 0,917$.

Contrôle. $E(X)=1,6$ est bien dans l'intervalle $[0,3]$ des valeurs prises, et $\sigma (X)<1$ pour une variable qui ne s'écarte jamais de plus de $1,6$ de sa moyenne : les ordres de grandeur sont cohérents. Une variance négative, elle, aurait signalé une erreur de calcul — $V(X)\ge 0$ toujours.