Une loi géométrique en chiffres

La loi. Avec $p=0,25$ et $q=1-p=0,75$ :

$$P(X=k)=p{q}^{k-1}=0,25\times (0,75{)}^{k-1},k\in {\mathbb{N}}^{\ast }.$$

Trois tirages exactement.

$$P(X=3)=0,25\times (0,75{)}^2=0,25\times 0,5625=0,140625.$$

Au plus trois. L'événement $[X>3]$ signifie que les trois premières épreuves ont été des échecs, donc $P(X>3)=q^3$ :

$$P(X>3)=(0,75{)}^3=0,421875,$$ $$P(X\le 3)=1-0,421875=0,578125.$$

Contrôle par la somme directe. $P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0,25+0,1875+0,140625=0,578125$. ✔

Moments. Le cours donne $E(X)=\frac{1}{p}$ et $V(X)=\frac{1-p}{p^2}$ :

$$E(X)=\frac{1}{0,25}=4,V(X)=\frac{0,75}{0,0625}=12,\sigma (X)=\sqrt{12}\approx 3,46.$$

Lecture. En moyenne quatre épreuves, mais une chance sur deux environ de réussir dès les trois premières : la loi géométrique est asymétrique, son espérance étant tirée vers le haut par des valeurs rares mais grandes.