Une loi qui n'en est une que pour une valeur du paramètre

La condition de normalisation. La famille $([X=k]{)}_{k\in \mathbb{N}}$ est un système complet d'événements, donc

$$\sum _{k\ge 0}P(X=k)=1.$$

Or la série exponentielle en $x=2$ donne

$$\sum _{k\ge 0}a\frac{2^k}{k!}=a\sum _{k\ge 0}\frac{2^k}{k!}=a{\mathrm{e}}^2,$$

la série convergeant pour tout réel, ce qui autorise à sortir la constante $a$. La condition devient $a{\mathrm{e}}^2=1$, soit

$$a={\mathrm{e}}^{-2}.$$

Cette valeur est bien strictement positive, comme l'exige l'énoncé, et toutes les $P(X=k)$ sont alors positives : on a bien une loi de probabilité.

Identification. Avec cette valeur,

$$P(X=k)={\mathrm{e}}^{-2}\frac{2^k}{k!},k\in \mathbb{N},$$

qui est exactement la définition de la loi de Poisson de paramètre $\lambda =2$ : $X\hookrightarrow \mathcal{P}(2)$.

Moments. Le cours donne, pour $\mathcal{P}(\lambda )$, une espérance et une variance toutes deux égales à $\lambda$. Donc

$$E(X)=2,V(X)=2,\sigma (X)=\sqrt{2}\approx 1,41.$$

La méthode, en une phrase. Devant une loi à paramètre, on écrit toujours d'abord que la somme des probabilités vaut $1$ : c'est cette équation qui détermine le paramètre, et elle exige d'identifier la série usuelle en jeu — ici la série exponentielle.

Contrôle. $P(X=0)={\mathrm{e}}^{-2}\approx 0,135$, $P(X=1)\approx 0,271$, $P(X=2)\approx 0,271$, $P(X=3)\approx 0,180$ : la masse se concentre autour de $2$, cohérent avec $E(X)=2$.