Une loi sans espérance

La constante. La somme des probabilités doit valoir $1$. Or $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$, et la somme télescope :

$$\sum _{k=1}^{+\infty }\frac{1}{k(k+1)}=\underset{N\to +\infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{N+1}\right)=1.$$

Donc $c=1$, et la loi est bien définie.

Pas d'espérance. L'espérance existe si et seulement si la série $\sum kP(X=k)$ converge absolument. Ici tous les termes sont positifs, et

$$kP(X=k)=\frac{k}{k(k+1)}=\frac{1}{k+1}.$$

La série ${\sum }_{k\ge 1}\frac{1}{k+1}$ est la série harmonique décalée : elle diverge. Donc $X$ n'admet pas d'espérance.

Ce que cela signifie concrètement. La loi est parfaitement légitime — on peut simuler $X$, tracer son histogramme — mais la moyenne empirique de $n$ tirages ne se stabilise pas quand $n$ grandit : elle continue de grimper, tirée par des valeurs rares mais énormes. « Espérance infinie » n'est pas une curiosité d'école : c'est le modèle de phénomènes à queue lourde, où la moyenne n'a aucun sens comme résumé.