Une loi uniforme

La loi. $X$ prend chacune des valeurs de $[[1,12]]$ avec la probabilité $\frac{1}{12}$.

Première probabilité. L'événement $[X\le 4]$ réunit les quatre issues $1,2,3,4$, deux à deux incompatibles :

$$P(X\le 4)=4\times \frac{1}{12}=\frac{1}{3}\approx 0,333.$$

Seconde probabilité. Les valeurs paires de $[[1,12]]$ sont $2,4,6,8,10,12$, soit six issues :

$$P(X\text{ pair})=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}.$$

Espérance. Le cours donne, pour $\mathcal{U}([[1,n]])$, $E(X)=\frac{n+1}{2}$. Ici $n=12$ :

$$E(X)=\frac{13}{2}=6,5.$$

Variance. Le cours donne $V(X)=\frac{n^2-1}{12}$, donc

$$V(X)=\frac{144-1}{12}=\frac{143}{12}\approx 11,92,\sigma (X)\approx 3,45.$$

Contrôle. L'espérance $6,5$ est le milieu de $[[1,12]]$, ce qui est attendu d'une loi symétrique. Et $\sigma (X)\approx 3,45$ est de l'ordre du quart de l'étendue $11$ : c'est l'ordre de grandeur habituel d'une loi uniforme, dont la masse est répartie sur tout l'intervalle plutôt que concentrée au centre.