Une probabilité de Poisson, simulée puis calculée

La simulation.

import numpy.random as rd

def estime(N):
    X = rd.poisson(3, N)          # N tirages d'une loi de Poisson de parametre 3
    return sum(1 for x in X if x >= 6) / N

for N in [1000, 100000]:
    print(N, estime(N))           # ~0.084

Le calcul exact. L'événement contraire ne compte que six termes :

$$P(X\ge 6)=1-\sum _{k=0}^5{\mathrm{e}}^{-3}\frac{3^k}{k!}=1-{\mathrm{e}}^{-3}\left(1+3+\frac{9}{2}+\frac{9}{2}+\frac{27}{8}+\frac{81}{40}\right).$$

Détaillons : $\frac{3^0}{0!}=1$, $\frac{3^1}{1!}=3$, $\frac{3^2}{2!}=4,5$, $\frac{3^3}{3!}=4,5$, $\frac{3^4}{4!}=3,375$, $\frac{3^5}{5!}=2,025$. La somme vaut $18,4$, et ${\mathrm{e}}^{-3}\approx 0,049787$, donc

$$P(X\le 5)\approx 18,4\times 0,049787=0,9161,P(X\ge 6)\approx 0,0839.$$

Comparaison. La fréquence simulée doit tourner autour de $0,084$ : c'est le contrôle attendu.

Combien de simulations ? La fréquence empirique $F_N$ est la moyenne de $N$ indicatrices indépendantes de paramètre $p=0,0839$, dont chacune a pour variance $p(1-p)\approx 0,0769$. L'écart-type de $F_N$ vaut donc

$$\sqrt{\frac{p(1-p)}{N}}=\frac{0,277}{\sqrt{N}}.$$

Pour espérer deux décimales, il faut cet écart-type sous $5\times 10^{-3}$, soit

$$\sqrt{N}>\frac{0,277}{0,005}\approx 55,\text{donc}N>3000\text{environ}.$$

Avec $N=10^3$ on lit typiquement $0,08$ ou $0,09$ ; il faut monter à $10^5$ pour que les deux premières décimales cessent de bouger d'une exécution à l'autre.

Ce que la simulation ne fait pas. Elle ne démontre rien : elle donne une fréquence, pas une probabilité. Son rôle ici est de contrôler le calcul exact — un écart net entre les deux aurait signalé une erreur dans la somme des six termes, ou dans le paramètre passé à rd.poisson.