Une transformation affine

Probabilités — variables aléatoires réelles · Espérance, variance et transformation affine · niveau 1 (application)

Énoncé

Soit $X$ une variable aléatoire telle que $E (X) = 5$ et $V (X) = 4$ . Calculer $E (3 X - 2)$ , $V (3 X - 2)$ , $σ (3 X - 2)$ et $E (X^{2})$ .

Corrigé

L'espérance. La linéarité de l'espérance donne $E (a X + b) = a E (X) + b$ , donc

$E (3 X - 2) = 3 E (X) - 2 = 3 \times 5 - 2 = 13.$

La variance. La formule du cours est $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ : la constante $b$ n'y figure pas, car translater une variable ne modifie pas sa dispersion.

$V (3 X - 2) = 3^{2} V (X) = 9 \times 4 = 36.$

L'écart-type. $σ (3 X - 2) = 36 = 6$ . On retrouve $σ (a X + b) = ∣ a ∣ σ (X) = 3 \times 2 = 6$ — avec la valeur absolue, car un écart-type est positif même quand $a$ ne l'est pas.

Le moment d'ordre deux. La formule de Kœnig-Huygens $V (X) = E (X^{2}) - E (X)^{2}$ se relit à l'envers :

$E (X^{2}) = V (X) + E (X)^{2} = 4 + 25 = 29.$

Le piège classique. Écrire $V (3 X - 2) = 3 V (X) - 2$ est faux deux fois : le coefficient est élevé au carré, et la constante disparaît.

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