Une variable centrée réduite

Les moments de la loi binomiale. Le cours donne, pour $X\hookrightarrow \mathcal{B}(n,p)$ : $E(X)=np$ et $V(X)=np(1-p)$. Ici $n=20$ et $p=0,4$, donc

$$E(X)=20\times 0,4=8,V(X)=20\times 0,4\times 0,6=4,8,$$

$$\sigma (X)=\sqrt{4,8}\approx 2,191.$$

La variable centrée réduite. Par définition,

$$X^{\ast }=\frac{X-E(X)}{\sigma (X)}=\frac{X-8}{\sqrt{4,8}}.$$

C'est une transformation affine de $X$ : $X^{\ast }=aX+b$ avec $a=\frac{1}{\sqrt{4,8}}$ et $b=\frac{-8}{\sqrt{4,8}}$.

Vérification de l'espérance. La linéarité, $E(aX+b)=aE(X)+b$, donne

$$E(X^{\ast })=\frac{E(X)-8}{\sqrt{4,8}}=\frac{8-8}{\sqrt{4,8}}=0.$$

Vérification de la variance. La formule $V(aX+b)=a^{2}V(X)$ donne

$$V(X^{\ast })={\left(\frac{1}{\sqrt{4,8}}\right)}^{2}V(X)=\frac{4,8}{4,8}=1.$$

Deux remarques. D'abord, $b$ ne joue aucun rôle dans la variance : ajouter une constante translate la distribution sans l'étaler. Ensuite, $X^{\ast }$ n'est plus à valeurs entières — elle prend les valeurs $\frac{k-8}{\sqrt{4,8}}$ pour $k\in [[0,20]]$, par exemple $\frac{-8}{2,191}\approx -3,65$ pour $k=0$. Centrer et réduire change l'échelle, pas la forme de la loi.