Une variance nulle ne laisse qu'une valeur

Mise en place. Notons $m=E(X)$ et $X(\Omega )$ l'ensemble — fini ou dénombrable — des valeurs prises par $X$. Par définition, $V(X)=E((X-m{)}^2)$, et le théorème de transfert appliqué à $g(x)=(x-m{)}^2$ donne

$$V(X)=\sum _{x\in X(\Omega )}(x-m{)}^{2}P(X=x)=0.$$

L'argument central. C'est une somme de termes tous positifs ou nuls : chaque facteur $(x-m{)}^2$ est un carré, et chaque $P(X=x)$ est une probabilité. Or une somme de termes positifs est nulle si et seulement si chacun de ces termes est nul. (Si l'un d'eux était strictement positif, la somme le serait aussi, les autres n'ôtant rien.) Donc, pour tout $x\in X(\Omega )$,

$$(x-m{)}^{2}P(X=x)=0.$$

Conclusion. Fixons $x\in X(\Omega )$ avec $x\ne m$. Alors $(x-m{)}^2>0$, donc l'égalité précédente force $P(X=x)=0$. Autrement dit, toute valeur différente de $m$ est prise avec la probabilité nulle. Comme $([X=x]{)}_{x\in X(\Omega )}$ est un système complet d'événements,

$$1=\sum _{x\in X(\Omega )}P(X=x)=P(X=m)+\sum _{x\ne m}0=P(X=m).$$

(Au passage, $m$ appartient bien à $X(\Omega )$ : sinon la somme ci-dessus vaudrait $0$ et non $1$.) Donc $P(X=m)=1$ : $X$ suit la loi certaine de valeur $E(X)$.

La réciproque. Elle est immédiate : si $P(X=c)=1$ alors $E(X)=c$ et $E(X^2)=c^2$, donc $V(X)=c^2-c^2=0$. La variance nulle caractérise donc la loi certaine.

Ce que cela signifie. La variance mesure la dispersion : elle s'annule exactement quand il n'y a rien à disperser. C'est la justification rigoureuse de la lecture intuitive de $V(X)$.