Compter des succès

Le code.

import numpy.random as rd

def succes(n, p):
    c = 0
    for _ in range(n):
        if rd.random() < p:     # cet evenement a la probabilite p
            c = c + 1
    return c

n, p = 100000, 0.3
k = succes(n, p)
print(k, k / n, p)      # ~30000   ~0.300   0.3

Pourquoi le test rd.random() < p a la probabilité $p$. La fonction rd.random() rend un réel tiré uniformément dans $[0,1[$. La probabilité qu'il tombe dans $[0,p[$ est la longueur de cet intervalle, soit $p$. Chaque tour de boucle réalise donc une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$, indépendante des autres.

La loi de la variable simulée. succes(n, p) compte les succès de $n$ épreuves indépendantes de même paramètre : elle suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$, d'espérance $np=30000$ et de variance $np(1-p)=21000$.

L'écart attendu. L'écart-type du compte vaut $\sqrt{21000}\approx 145$, donc celui de la fréquence $k/n$ vaut $145/10^5\approx 1,45\times 10^{-3}$. Lire $0,2985$ ou $0,3012$ est donc parfaitement normal ; lire $0,25$ signalerait une erreur de code.

Le piège de l'inégalité large. Écrire rd.random() <= p ne change rien en pratique : la probabilité de tirer exactement $p$ est nulle. Mais écrire rd.random() < 1 - p inverserait succès et échecs, et la fréquence lue serait $0,7$ — une erreur qui se voit immédiatement à condition de comparer à la valeur théorique, ce qui est tout l'objet de l'exercice.