La ruine du joueur

Le code.

import numpy.random as rd

def partie(depart=10, cible=20, p=0.48):
    # renvoie (ruine ?, nombre de coups joues)
    fortune = depart
    coups = 0
    while 0 < fortune < cible:
        if rd.random() < p:
            fortune = fortune + 1
        else:
            fortune = fortune - 1
        coups = coups + 1
    return fortune == 0, coups

N = 10000
resultats = [partie() for _ in range(N)]
ruines = sum(1 for r, c in resultats if r)
duree = sum(c for r, c in resultats) / N
print(ruines / N)      # ~0.69
print(duree)           # ~87

Ce que la simulation montre. Avec un désavantage minime — $48\%$ au lieu de $50\%$ —, la probabilité de ruine avoisine $0,69$ : le joueur perd tout dans plus de deux cas sur trois, alors qu'il partait à mi-chemin entre $0$ et sa cible. À $p=0,5$, la symétrie du problème donnerait exactement $\frac{1}{2}$ ; le passage de $0,50$ à $0,48$ fait donc bondir le risque de $50\%$ à près de $70\%$.

La durée. Elle avoisine $87$ coups. La partie est donc longue au regard des $10$ jetons de départ : la fortune fait de nombreux allers-retours avant d'atteindre l'une des deux bornes.

Terminaison. La boucle s'arrête dès que fortune atteint $0$ ou $20$. Elle n'est pas garantie en un nombre fini de coups fixé d'avance, mais l'arrêt est presque sûr : sur $20$ coups consécutifs, la suite « toujours perdre » suffit à ruiner le joueur, et sa probabilité $0,52^{20}$, quoique petite, est non nulle et se représente indéfiniment.

Le test d'arrêt s'écrit 0 < fortune < cible. L'écrire fortune != 0 seul ferait jouer indéfiniment un joueur ayant atteint sa cible ; fortune > 0 seul ferait de même. Les deux conditions de sortie doivent figurer.

L'écart attendu. La fréquence de ruine sur $N=10^4$ parties a un écart-type d'environ $\sqrt{0,69\times 0,31/10^4}\approx 4,6\times 10^{-3}$ : lire $0,685$ ou $0,695$ est normal.