Médiane et écart interquartile

Le code.

def mediane(L):
    T = sorted(L)              # copie triee : L n'est pas modifiee
    n = len(T)
    if n % 2 == 1:
        return T[n // 2]                       # effectif impair : valeur centrale
    return (T[n // 2 - 1] + T[n // 2]) / 2     # effectif pair : moyenne des deux

def interquartile(L):
    T = sorted(L)
    n = len(T)
    q1 = mediane(T[: n // 2])                  # moitie basse
    q3 = mediane(T[(n + 1) // 2 :])            # moitie haute
    return q3 - q1

Pourquoi sorted et non L.sort(). sorted rend une nouvelle liste et laisse L intacte ; L.sort() réordonne la liste de l'appelant. Une fonction d'analyse ne doit pas modifier les données qu'on lui confie — un effet de bord invisible qui fausserait tout calcul ultérieur sur L.

Le cas pair. Avec $n$ pair, il n'y a pas de valeur centrale : on prend la moyenne des deux valeurs d'indices $\frac{n}{2}-1$ et $\frac{n}{2}$. Sur $[1,2,3,4]$ cela donne $\frac{2+3}{2}=2,5$. Prendre T[n // 2] seul renverrait $3$ : une médiane systématiquement décalée vers le haut, erreur d'autant plus difficile à voir qu'elle reste plausible.

Les découpes des quartiles. La moitié basse est T[: n // 2] et la moitié haute T[(n + 1) // 2 :] : lorsque $n$ est impair, la valeur centrale est ainsi exclue des deux moitiés, ce qui est la convention la plus répandue.

Exemple, et la valeur aberrante. Prenons $L=[12,14,15,16,18,19,21,23]$. La somme vaut $138$, donc la moyenne est $17,25$ ; la médiane est $\frac{16+18}{2}=17$ ; les quartiles sont $q_1=\frac{14+15}{2}=14,5$ et $q_3=\frac{19+21}{2}=20$, d'où un écart interquartile de $5,5$.

Remplaçons maintenant $23$ par $223$ (une erreur de saisie). La somme devient $338$, donc la moyenne saute à $42,25$ — soit $+145\%$. La médiane, elle, reste $17$ : les valeurs centrales n'ont pas bougé. L'écart interquartile devient $\frac{19+21}{2}-14,5=5,5$, inchangé lui aussi.

Ce que l'exemple démontre. Médiane et écart interquartile sont robustes : ils ne dépendent que du rang des valeurs, pas de leur grandeur. Moyenne et écart-type, eux, sont sensibles à une seule valeur extrême. Sur des salaires, des patrimoines ou des durées, c'est presque toujours le couple médiane/interquartile qui décrit correctement les données — et cette différence de $17$ à $42$ est exactement ce que le programme demande de savoir discuter.