Moyenne et variance en un seul parcours

Le code.

def indicateurs(L):
    # somme et somme des carres, accumulees en un seul passage
    n = len(L)
    s, s2 = 0, 0
    for x in L:
        s = s + x
        s2 = s2 + x * x
    moyenne = s / n
    variance = s2 / n - moyenne * moyenne
    return moyenne, variance

print(indicateurs([2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9]))   # (5.0, 4.0)

Pourquoi c'est correct. La variance empirique est par définition $\frac{1}{n}{\sum }_i(x_i-\bar{x}{)}^2$. En développant le carré :

$$\frac{1}{n}\sum _i(x_i-\bar{x}{)}^2=\frac{1}{n}\sum _i{x}_i^2-\frac{2\bar{x}}{n}\sum _i{x}_i+{\bar{x}}^2=\frac{1}{n}\sum _i{x}_i^2-{\bar{x}}^2,$$

puisque $\frac{1}{n}{\sum }_i{x}_i=\bar{x}$. C'est la formule de Kœnig-Huygens, et c'est elle qui permet de ne conserver que deux accumulateurs, $s$ et $s_2$, au lieu de mémoriser la liste pour un second passage.

Vérification à la main sur l'exemple : la somme vaut $40$, donc $\bar{x}=5$ ; la somme des carrés vaut $4+16+16+16+25+25+49+81=232$, donc $\frac{232}{8}-25=29-25=4$. ✔

Le coût. La boucle fait $n$ tours, chacun à coût constant (deux additions, une multiplication) : le nombre d'opérations est de l'ordre de $n$. La version « naïve » — calculer d'abord la moyenne, puis reparcourir pour les écarts — fait $2n$ opérations, du même ordre mais deux fois plus lente, et exige que la liste soit encore disponible au second passage.

La limite de la méthode. Sur des nombres très grands et très proches les uns des autres, $s_2/n$ et ${\bar{x}}^2$ deviennent presque égaux et leur différence perd des chiffres significatifs. On peut alors observer une variance légèrement négative — impossible mathématiquement, et signe que la formule développée a atteint ses limites numériques.