Une marche aléatoire, et sa distance à l'origine

Le code.

import numpy.random as rd

def marche(n):
    # position apres n pas de +1 ou -1 equiprobables
    s = 0
    for _ in range(n):
        if rd.random() < 0.5:
            s = s + 1
        else:
            s = s - 1
    return s

N = 20000
for n in [100, 400, 1600]:
    m = sum(abs(marche(n)) for _ in range(N)) / N
    print(n, m, m / n ** 0.5)

Ce qu'on observe.

$n$	$E(|S_n|)$ estimée	$E(|S_n|)/\sqrt{n}$
$100$	$\approx 7,98$	$\approx 0,80$
$400$	$\approx 15,96$	$\approx 0,80$
$1600$	$\approx 31,9$	$\approx 0,80$

Le rapport reste voisin de $0,80$ : la distance typique à l'origine croît comme $\sqrt{n}$, et non comme $n$.

Le calcul qui l'explique en partie. Chaque $X_i$ vérifie $E(X_i)=0$ et $X_i^2=1$, donc $E(X_i^2)=1$. La linéarité de l'espérance donne $E(S_n)=0$, et l'on montre — c'est le point où la simulation devance le cours de première année — que $E(S_n^2)=n$. La quantité $\sqrt{E(S_n^2)}=\sqrt{n}$ est donc l'échelle naturelle du problème, ce que les trois lignes du tableau confirment : quadrupler $n$ double la distance.

La constante $0,80$. Elle n'est pas $1$ : $E(|S_n|)$ est un peu inférieure à $\sqrt{E(S_n^2)}$, ce qui est général — la moyenne d'une valeur absolue est toujours au plus la racine de la moyenne des carrés. Sa valeur exacte relève de la deuxième année ; la simulation, elle, la donne à deux décimales.

Deux remarques de méthode. Le nombre $N$ de répétitions doit être le même pour les trois valeurs de $n$, sans quoi les fluctuations d'échantillonnage brouilleraient la comparaison. Et le coût total est de l'ordre de $Nn$ : sur $n=1600$ et $N=20000$, cela fait $3,2\times 10^7$ tirages, quelques dizaines de secondes — il est raisonnable de commencer par $N=2000$ pour vérifier le code avant de lancer le calcul complet.

Ce que la simulation ne fait pas. Elle suggère la loi en $\sqrt{n}$ et donne la constante ; elle ne démontre ni l'une ni l'autre. Son rôle est de contrôler et d'orienter, jamais de conclure.