Une moyenne empirique qui se stabilise

Le code.

import numpy.random as rd

p = 0.3
for N in [10, 1000, 100000]:
    X = rd.geometric(p, N)        # N tirages d'une loi geometrique
    print(N, sum(X) / N)
print("theorique :", 1 / p)       # 3.333...

Ce qu'on observe. La moyenne empirique s'approche de $\frac{1}{0,3}\approx 3,333$, d'autant mieux que $N$ est grand :

$N$	moyenne typique	écart au théorique
$10$	entre $2$ et $5$	plusieurs dixièmes
$10^3$	$\approx 3,33\pm 0,09$	quelques centièmes
$10^5$	$\approx 3,333\pm 0,009$	quelques millièmes

D'où viennent ces marges. Le cours donne $E(X)=\frac{1}{p}=3,333$ et $V(X)=\frac{1-p}{p^2}=\frac{0,7}{0,09}\approx 7,78$, donc $\sigma (X)\approx 2,79$. La moyenne de $N$ tirages a un écart-type de $\frac{\sigma (X)}{\sqrt{N}}$, soit $0,88$ pour $N=10$, $0,088$ pour $N=10^3$ et $0,0088$ pour $N=10^5$ : c'est exactement l'ordre de grandeur du tableau.

La règle en $\sqrt{N}$. Diviser l'incertitude par $10$ demande de multiplier $N$ par $100$. C'est pourquoi une simulation ne donne jamais beaucoup de décimales : trois décimales sûres exigent déjà $10^5$ tirages.

Ce qu'il ne faut pas conclure. Une simulation ne démontre pas que $E(X)=\frac{1}{p}$ : elle le contrôle. Un écart net entre les deux aurait signalé une erreur — de paramètre, de modèle, ou de lecture du résultat — et c'est presque toujours le modèle qui est en cause, pas le hasard.