Une racine qu'il faut d'abord justifier

L'étude préalable. Posons $h(x)=\ln x+x-2$ sur $[1,2]$ ; l'équation équivaut à $h(x)=0$.

Continuité et monotonie. $h$ est dérivable sur $[1,2]$ avec

$$h^{\prime }(x)=\frac{1}{x}+1>0,$$

donc $h$ est continue et strictement croissante sur $[1,2]$.

Changement de signe.

$$h(1)=\ln 1+1-2=-1<0,h(2)=\ln 2+2-2=\ln 2\approx 0,693>0.$$

Le théorème des valeurs intermédiaires, appliqué à une fonction continue et strictement monotone changeant de signe, garantit l'existence et l'unicité d'une solution $\alpha \in ]1,2[$.

Le code.

import numpy as np

def h(x):
    return np.log(x) + x - 2

def dichotomie(f, a, b, eps):
    n = 0
    while b - a > eps:
        m = (a + b) / 2
        if f(a) * f(m) <= 0:
            b = m               # le changement de signe est a gauche
        else:
            a = m
        n = n + 1
    return (a + b) / 2, n

print(dichotomie(h, 1, 2, 1e-8))    # (1.5571455..., 27)

La valeur. On trouve $\alpha \approx 1,55715$. Contrôle : $\ln (1,55715)\approx 0,44285$ et $2-1,55715=0,44285$. ✔

Le nombre de tours. L'intervalle initial a pour longueur $1$, et chaque tour la divise par $2$ : après $n$ tours elle vaut $2^{-n}$. La condition $2^{-n}\le 10^{-8}$ s'écrit $n\ge \frac{8\ln 10}{\ln 2}\approx 26,6$, donc $27$ tours.

Pourquoi l'étude préalable n'est pas une formalité. La dichotomie ne fonctionne que si $f$ est continue et change de signe entre les bornes ; sans la stricte monotonie, elle convergerait vers une racine sans qu'on sache laquelle, ni s'il y en a d'autres. Lancée sur un intervalle où $f$ ne change pas de signe, elle rendrait un nombre sans aucune signification — et sans erreur.

*Le test f(a) </em> f(m) &lt;= 0.** Il repère l'intervalle où le changement de signe se produit. Sur des valeurs très petites, le produit peut s'annuler par sous-dépassement numérique ; comparer les signes séparément est plus robuste, mais le produit reste la forme la plus lisible pour des fonctions usuelles.