Une suite récurrente en Python

Le code.

def terme(n):
    u = 0.0
    for _ in range(n):     # n iterations : on part de u_0 et on arrive a u_n
        u = 0.5 * u + 3
    return u

for n in [0, 1, 2, 5, 20]:
    print(n, terme(n))
# 0  0.0
# 1  3.0
# 2  4.5
# 5  5.8125
# 20 5.999994277954102

La boucle fait exactement $n$ tours. Chaque tour applique une fois la relation de récurrence, faisant passer de $u_k$ à $u_{k+1}$. Partant de $u_0$, on arrive donc à $u_n$. Écrire range(n + 1) calculerait $u_{n+1}$ — l'erreur d'un cran, la plus fréquente sur ce schéma.

La limite. Si $u_n\to \ell$, alors $u_{n+1}\to \ell$ aussi, et le passage à la limite dans la relation donne

$$\ell =0,5\ell +3⟺0,5\ell =3⟺\ell =6.$$

La convergence est effective. Posons $v_n=u_n-6$. Alors

$$v_{n+1}=u_{n+1}-6=0,5u_n+3-6=0,5(u_n-6)=0,5v_n,$$

donc $(v_n)$ est géométrique de raison $0,5$, et $v_n=v_0\times (0,5{)}^n=-6\times (0,5{)}^n\to 0$. D'où $u_n=6-6(0,5{)}^n\to 6$.

Vérification. Pour $n=20$ : $6-6\times 2^{-20}=6-5,72\times 10^{-6}=5,99999428$, exactement ce qu'affiche le programme. ✔

Le passage à la limite ne prouve rien à lui seul. Il donne la valeur de la limite si la suite converge. C'est le calcul de $v_n$ qui établit la convergence — sur une suite divergente, le même raisonnement produirait une « limite » qui n'existe pas.