Ce produit est-il défini ?

La règle. Le produit $MN$ est défini lorsque le nombre de colonnes de $M$ est égal au nombre de lignes de $N$ ; le résultat a alors autant de lignes que $M$ et autant de colonnes que $N$. La somme, elle, exige deux matrices de même taille.

$AB$ : défini. $A$ est $(2,3)$, $B$ est $(3,4)$ : les $3$ colonnes de $A$ répondent aux $3$ lignes de $B$. Le produit est de taille $(2,4)$.

$BA$ : non défini. $B$ a $4$ colonnes et $A$ a $2$ lignes : $4\ne 2$. On voit ici que $AB$ peut exister sans que $BA$ existe — une raison de plus pour ne jamais intervertir un produit.

$A+C$ : définie. Les deux matrices sont de taille $(2,3)$ ; la somme est de taille $(2,3)$.

$AC$ : non défini. $A$ a $3$ colonnes, $C$ a $2$ lignes.

$A{}^{t}C$ : défini. ${}^{t}C$ est de taille $(3,2)$, donc $A$ ($3$ colonnes) peut la multiplier : le produit est de taille $(2,2)$.

À retenir. Avant tout calcul, on écrit les tailles côte à côte : $(2,3)\times (3,4)\to (2,4)$. Les deux nombres du milieu doivent coïncider, et ce sont eux qui disparaissent.