Ce que le déterminant dit des colonnes

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 2 — Calcul matriciel et systèmes linéaires · Inversibilité et déterminant d'ordre 2

Énoncé

Soit $A = (a c b d)$ , de colonnes $C_{1} = (a c)$ et $C_{2} = (b d)$ . Montrer que $det A = 0$ si et seulement si l'une des deux colonnes est un multiple de l'autre. Qu'en déduit-on sur le système $A X = 0$ ?

Corrigé

Sens facile. Supposons $C_{2} = λ C_{1}$ , c'est-à-dire $b = λa$ et $d = λ c$ . Alors $det A = a d - b c = a (λ c) - (λa) c = 0.$ Le cas $C_{1} = λ C_{2}$ se traite de même. Dans les deux cas le déterminant est nul.

Sens réciproque. Supposons $a d - b c = 0$ et distinguons les cas.

Cas 1 : $C_{1}$ est la colonne nulle, c'est-à-dire $a = c = 0$ . Alors $C_{1} = 0 \times C_{2}$ : la conclusion est acquise.

Cas 2 : $a \neq = 0$ . Posons $λ = \frac{b}{a}$ . Alors $b = λa$ par construction, et de $a d = b c$ on tire $d = \frac{b c}{a} = λ c$ . Donc $C_{2} = λ C_{1}$ .

Cas 3 : $c \neq = 0$ . Posons $λ = \frac{d}{c}$ . Alors $d = λ c$ , et de $a d = b c$ on tire $aλ c = b c$ , puis $b = λa$ après division par $c \neq = 0$ . Donc encore $C_{2} = λ C_{1}$ .

Ces trois cas couvrent toutes les possibilités (si $C_{1} \neq = 0$ , alors $a \neq = 0$ ou $c \neq = 0$ ), ce qui achève la démonstration.

Le système homogène. $A X = 0$ s'écrit $x C_{1} + y C_{2} = 0$ : chercher une solution non nulle, c'est chercher une relation de proportionnalité entre les colonnes. Le résultat démontré dit donc : $det A = 0 ⟺ A X = 0 a une solution X \neq = 0 ⟺ A n’est pas inversible.$

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