Combinaison et produit

La combinaison. La somme et le produit par un réel se font coefficient par coefficient : $$2A=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 0& -2\end{array}\right),3B=\left(\begin{array}{cc}9& 0\\ 3& 12\end{array}\right),2A-3B=\left(\begin{array}{cc}-7& 4\\ -3& -14\end{array}\right).$$

Le produit $AB$. Le coefficient $(i,j)$ est le produit de la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$ : $$AB=\left(\begin{array}{cc}1\times 3+2\times 1& 1\times 0+2\times 4\\ 0\times 3+(-1)\times 1& 0\times 0+(-1)\times 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 8\\ -1& -4\end{array}\right).$$

Le produit $BA$. $$BA=\left(\begin{array}{cc}3\times 1+0\times 0& 3\times 2+0\times (-1)\\ 1\times 1+4\times 0& 1\times 2+4\times (-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 1& -2\end{array}\right).$$

Constat. $AB\ne BA$ : le produit matriciel n'est pas commutatif. C'est la différence la plus lourde de conséquences avec le calcul sur les réels — elle interdit d'écrire $(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2$, qui vaut en réalité $A^2+AB+BA+B^2$.

On remarquera au passage que $2A-3B$ n'a rien à voir avec $AB$ : les deux opérations sont indépendantes, et seule la seconde mélange les lignes et les colonnes.