Commuter avec toutes les matrices

Écrivons $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$. L'hypothèse est universelle : on a le droit de la spécialiser aux matrices de notre choix.

Premier choix : $M=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$. $$AM=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ c& 0\end{array}\right),MA=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 0\end{array}\right).$$ L'égalité impose $b=0$ et $c=0$.

Second choix : $M=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$. Avec $b=c=0$ : $$AM=\left(\begin{array}{cc}0& a\\ 0& 0\end{array}\right),MA=\left(\begin{array}{cc}0& d\\ 0& 0\end{array}\right),$$ d'où $a=d$. Ainsi $A=a{I}_2$.

Réciproque. Toute matrice $\lambda I_2$ commute avec $M$, puisque $(\lambda I_2)M=\lambda M=M(\lambda I_2)$.

Le point à retenir. Une hypothèse « pour tout » se spécialise : deux matrices bien choisies ont suffi à effacer les coefficients hors de la diagonale, puis à égaliser ceux de la diagonale.