mathématiques appliquées (ECG 1re année) · Chapitre 2 · Exercice d'entraînement

Élever une matrice à une puissance, en Python

Calcul matriciel et systèmes linéaires · Puissances et polynômes annulateurs · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Écrire une fonction Python puissance(A, n) qui calcule $A^{n}$ pour une matrice carrée A (tableau numpy) et un entier $n \geq 0$ , en n'utilisant que np.dot, np.eye et une boucle. Combien de produits de matrices effectue-t-elle ? Proposer ensuite une version qui en fait beaucoup moins en utilisant $A^{2 k} = (A^{k})^{2}$ .

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Élève

La version directe ne me pose pas de problème. Pour la version rapide, je ne vois pas comment utiliser $A^{2 k} = (A^{k})^{2}$ quand $n$ est impair.

Écris un $n$ impair sous la forme $2 k + 1$ : comment exprimer $A^{n}$ à l'aide de $A^{k}$ , avec un seul produit de plus ?

Élève

$A^{2 k + 1} = A \times (A^{k})^{2}$ . Donc, que $n$ soit pair ou impair, il me faut d'abord $A^{k}$ avec $k$ égal à n // 2.

Exactement. Et $A^{k}$ , comment le calcules-tu, sinon avec la même fonction appliquée à n // 2 ? Quel cas de base arrête alors les appels, et combien d'appels faut-il en fonction de $n$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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