Inverser une matrice d'ordre 2

Le déterminant. Pour $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$, le déterminant vaut $ad-bc$. Ici $$\det A=3\times 2-4\times 1=6-4=2.$$

Inversibilité. Une matrice d'ordre $2$ est inversible si et seulement si son déterminant est non nul. Comme $2\ne 0$, $A$ est inversible.

L'inverse. La formule du cours donne $$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ -1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -\frac{1}{2}& \frac{3}{2}\end{array}\right).$$ Attention à la disposition : les coefficients diagonaux s'échangent, les deux autres changent de signe et restent en place.

Vérification. $$A{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -\frac{1}{2}& \frac{3}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3-2& -6+6\\ 1-1& -2+3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2.$$ Le produit dans l'autre sens donne également $I_2$ : la matrice trouvée est bien l'inverse.