Inversibilité selon un paramètre

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 2 — Calcul matriciel et systèmes linéaires · Inversibilité et déterminant d'ordre 2

Énoncé

Déterminer pour quelles valeurs de $m$ la matrice $(1 m m 4)$ est inversible, et donner alors son inverse.

Corrigé

Le déterminant vaut $1 \times 4 - m \times m = 4 - m^{2} = (2 - m) (2 + m)$ .

La matrice est donc inversible si et seulement si $m \neq = 2$ et $m \neq = - 2$ . Dans ce cas,

$(1 m m 4)^{- 1} = \frac{1}{4 - m ^{2}} (4 - m - m 1) .$

Pour $m = \pm 2$ , les deux colonnes sont proportionnelles ( $(m 1)$ et $(4 m) = \frac{m}{1} (m 1)$ quand $m^{2} = 4$ ) : elles engendrent une droite, pas le plan, et la matrice ne peut pas être inversible.

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