Inversibilité selon un paramètre

Le déterminant vaut $1\times 4-m\times m=4-m^2=(2-m)(2+m)$.

La matrice est donc inversible si et seulement si $m\ne 2$ et $m\ne -2$. Dans ce cas,

$${\left(\begin{array}{cc}1& m\\ m& 4\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{4-m^2}\left(\begin{array}{cc}4& -m\\ -m& 1\end{array}\right).$$

Pour $m=\pm 2$, les deux colonnes sont proportionnelles ($\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{m}\right)$ et $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{4}\right)=\frac{m}{1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{m}\right)$ quand $m^2=4$) : elles engendrent une droite, pas le plan, et la matrice ne peut pas être inversible.