L'inverse d'une symétrique

On part de $A{A}^{-1}=I_n$ et l'on transpose, en se rappelant que ${}^t(MN)={}^{t}N{}^{t}M$ :

$${}^t(A^{-1}){}^{t}A={}^t{I}_n=I_n.$$

Comme $A$ est symétrique, ${}^{t}A=A$, donc ${}^t(A^{-1})A=I_n$. En multipliant à droite par $A^{-1}$ :

$${}^t(A^{-1})=A^{-1},$$

c'est-à-dire que $A^{-1}$ est symétrique.

Plus court encore : ${}^t(A^{-1})=({}^{t}A{)}^{-1}=A^{-1}$, en admettant que transposition et inversion commutent — ce qui est exactement ce qu'on vient de démontrer.