L'inverse par le pivot

Le système s'écrit $2x+y=a$, $x+2y+z=b$, $y+2z=c$.

Le pivot. $L_2\leftarrow 2L_2-L_1$ donne $3y+2z=2b-a$. En lui retranchant $L_3$ (qui est $y+2z=c$), il vient $2y=2b-a-c$. Puis $2x=a-y$, donc $4x=2a-2y=3a-2b+c$ ; et $2z=c-y$, donc $4z=2c-2y=a-2b+3c$.

La conclusion. Pour tout second membre $Y$, le système a une unique solution, et $$X=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{ccc}3& -2& 1\\ -2& 4& -2\\ 1& -2& 3\end{array}\right)Y.$$ Comme $X=BY$ pour tout $Y$, la matrice $A$ est inversible et $B=A^{-1}$. Vérification sur la première ligne : $2(3,-2,1)+(-2,4,-2)=(4,0,0)$, soit bien $4I_3$ après les trois lignes.

Le point délicat. Aucun déterminant d'ordre $3$ n'intervient : c'est le pivot, mené jusqu'au bout sans jamais diviser par une quantité douteuse, qui prouve l'inversibilité.

Le point à retenir. $A$ est symétrique, son inverse l'est aussi — le calcul le confirme.