L'inverse par le pivot

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 1re année), chapitre 2 — Calcul matriciel et systèmes linéaires · Systèmes linéaires et pivot

Énoncé

Soit $A = 210121012$ . Résoudre $A X = Y$ par le pivot, avec $Y =^{t} (a, b, c)$ , et en déduire $A^{- 1}$ .

Corrigé

Le système s'écrit $2 x + y = a$ , $x + 2 y + z = b$ , $y + 2 z = c$ .

Le pivot. $L_{2} \leftarrow 2 L_{2} - L_{1}$ donne $3 y + 2 z = 2 b - a$ . En lui retranchant $L_{3}$ (qui est $y + 2 z = c$ ), il vient $2 y = 2 b - a - c$ . Puis $2 x = a - y$ , donc $4 x = 2 a - 2 y = 3 a - 2 b + c$ ; et $2 z = c - y$ , donc $4 z = 2 c - 2 y = a - 2 b + 3 c$ .

La conclusion. Pour tout second membre $Y$ , le système a une unique solution, et $X = \frac{1}{4} 3 - 2 1 - 2 4 - 2 1 - 2 3 Y .$ Comme $X = B Y$ pour tout $Y$ , la matrice $A$ est inversible et $B = A^{- 1}$ . Vérification sur la première ligne : $2 (3, - 2, 1) + (- 2, 4, - 2) = (4, 0, 0)$ , soit bien $4 I_{3}$ après les trois lignes.

Le point délicat. Aucun déterminant d'ordre $3$ n'intervient : c'est le pivot, mené jusqu'au bout sans jamais diviser par une quantité douteuse, qui prouve l'inversibilité.

Le point à retenir. $A$ est symétrique, son inverse l'est aussi — le calcul le confirme.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.