La matrice dont tous les coefficients valent un

Calcul matriciel et systèmes linéaires · Puissances et suites récurrentes · niveau 2

Énoncé

Soit $J \in M_{3} (R)$ dont les neuf coefficients valent $1$ . Calculer $J^{2}$ , en déduire $J^{n}$ pour $n \geq 1$ , puis montrer que $I_{3} + J$ est inversible et calculer son inverse.

Corrigé

Le carré. Le coefficient $(i, j)$ de $J^{2}$ vaut $\sum_{k = 1}^{3} 1 \times 1 = 3$ . Donc $J^{2} = 3 J$ .

Les puissances. Conjecture : $J^{n} = 3^{n - 1} J$ pour $n \geq 1$ . Vraie au rang $1$ car $3^{0} J = J$ ; et si elle vaut au rang $n$ , $J^{n + 1} = J^{n} J = 3^{n - 1} J^{2} = 3^{n - 1} \times 3 J = 3^{n} J .$ Elle vaut donc pour tout $n \geq 1$ , par récurrence.

L'inverse de $I_{3} + J$ . Cherchons-le sous la forme $α I_{3} + β J$ : $(I_{3} + J) (α I_{3} + β J) = α I_{3} + (α + β) J + β J^{2} = α I_{3} + (α + 4 β) J .$ Il suffit de prendre $α = 1$ et $β = - \frac{1}{4}$ . Un seul produit suffit à conclure : pour une matrice carrée, un inverse à droite est l'inverse. Donc $(I_{3} + J)^{- 1} = I_{3} - \frac{1}{4} J$ .

Le point à retenir. $J$ n'est pas inversible — ses trois colonnes sont égales — et pourtant $I_{3} + J$ l'est. Une relation polynomiale vérifiée par une matrice livre à la fois ses puissances et des inverses, sans résoudre le moindre système.

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